Аксонометрические проекции

Комплексный чертеж является графически простым и удобно измеряемым. Но по нему не всегда легко представить предмет в пространстве. Необходим чертеж, дающий и наглядное представление.

Он может быть получен при проецировании предмета вместе с осями координат на одну плоскость. В этом случае на одной проекции можно получить наглядное и метрически определенное изображение. Такие виды изображений называют аксонометрическими проекциями.

Слово «аксонометрия» (от гр. axon — ось и metreo — измеряю) переводится как «измерение по осям».

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что фигура вместе с осями прямоугольных координат (к которым она отнесена в пространстве) проецируется на некоторую плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций, или картинной плоскостью.

При проецировании фигуры проецирующие лучи могут выходить из одной точки — центральная аксонометрия или быть параллельными друг другу — параллельная аксоносметрия. В дальнейшем мы будем рассматривать только параллельную аксонометрию.

Построим аксонометрическую проекцию точки A, отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (рис. 1).

Введем некоторые наименования:

Q — плоскость аксонометрических проекций (картинная плоскость);

I — направление проецирования

α — угол наклона направления проецирования I к плоскости аксонометрических проекций Q (картинной плоскости).

Из точек о, а_х, а_у, а_z— проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Q и найдем аксонометрические проекции этих точек о₁, а_х1, а_y1, а_z₁.

х_1, у₁, z₁ — аксонометрические оси координат (аксонометрические оси);

А₁ — аксонометрическая проекция точки А;

а₁, а₁‘, а₁» — вторичные проекции точки А;

В зависимости от положения плоскостей проекций Н, V, W, плоскости аксонометрических проекций Q и направления проецирования I координаты точки будут проецироваться с различными искажениями. Чтобы учесть эти факторы на осях координат отложим масштабные отрезки и построим их аксонометрические проекции.

е_х, е_у, е_z— масштабные отрезки;

е_х₁, е_у₁, е_z₁ — аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков.

При построении аксонометрии фигуры учитывают не длины масштабных отрезков, а отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его действительной величине. Эти отношения называются коэффициентом искажения по оси.

Обозначим эти коэффициенты:

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Q аксонометрические проекции делятся на:

прямоугольные, если угол проецирования α= 90°;
косоугольные, если α≠90°.

Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовлетворяет уравнениям:

для косоугольной аксонометрии — m²+n²+k²=2+ctg²α
для прямоугольной аксонометрии — m²+n²+k²=2

Основная теорема аксонометрии

Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 году предложил и доказал для частного случая теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве».

Доказательство этой теоремы в общем виде было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке — Шварца.

Из рассмотренного выше можно вывести определение аксонометрии:

Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.

В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции: