Изображения пространственных объектов на плоскости должны полно и точно отражать геометрические свойства объекта и позволять исследовать его части, что обусловливает ряд требований.

Наиболее важные из них: 1) обратимость, т. е. возможность вос­становить объект по его изображению; 2) простота построения; 3) на­глядность.

Изображение, удовлетворяющее этим требованиям, получают на основе метода проецирования.

Аппарат проецирования включает в себя центр проекций, проеци­руемый объект, проецирующие лучи и плоскость, на которой получается изображение.

  1. Центральное проецирование — это общий случай проецирова­ния геометрических объектов. Проецирование осуществляется из точки S — центра проецирования на плоскость Р — плоскость проекций. Центр проецирования не должен находиться в плоскости проекций.

Чтобы получить центральную проекцию какой-либо точки (например точки А на рис. 1) необходимо провести проецирующий луч через центр проецирования S и точку А. Точка пересечения луча с плоскостью про­екций (точка а) является центральной проекцией заданной точки А на выбранную плоскость Р.

Точки а, Ь, с, d являются центральными проекциями точек А, В, С D на плоскости Р.

Свойства центрального проецирования:

  1. При центральном проецировании:
  • точка проецируется в точку;
  • прямая, не проходящая через центр проецирования, проецируется в прямую (проецирующая прямая — в точку);
  • плоская фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в плоскую фигуру, рис. 2 (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются в прямые линии);
  • трехмерная фигура проецируется в двумерную фигуру.
  1. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.
  2. Центральное проецирование устанавливает однозначное соот­ветствие между фигурой и ее изображением.

Центральные проекции имеют большую наглядность, но имеют и недостатки. Они заключаются, например, в сложности построения изо­бражения предмета и определения его истинных размеров. Поэтому этот способ имеет ограниченное применение.

2. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования. При этом центр проецирования удален в бес­конечность (8)). При параллельном проеци­ровании применяют параллельные проеци­рующие прямые. Их проводят в заданном на­правлении относительно плоскости проек­ций. Если направление проецирования пер­пендикулярно плоскости проекций, то про­екции называют прямоугольными или орто­гональными ∠α=90°, в других случаях — ко­соугольными ∠α≠90°

Свойства параллельного проецирования:

При параллельном проецировании сохраняются все свойства цен­трального проецирования, которые дополняются новыми:

  1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых парал­лельны, а отношение длин отрезков этих прямых равно отношению длин их проекций.
  1. Плоская фигура, параллельная плос­кости проекций, проецируется на эту плоскость в такую же фигуру.
  2. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изме­няет вида и размеров проекции фигуры.

Применяя приемы параллельного про­ецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции, как и центральные не обеспечивают обратимости чертежа.

При проецировании на одну плоскость проекций между проеци­руемой фигурой и ее проекцией не существует взаимоодназначного со­ответствия. Так, каждому проецируемому предмету при заданном его положении и выбранном направлении проецирования l соответствует единственная его проекция.

Однако полученная фигура может быть про­екцией бесконечного множества других фигур, которые отличаются друг от друга по величине и по форме. Из рис. 4 видно, что пространственной точке М соответствует единственная ее проекция на плоскости Р — точка т. В то же время точка т является проекцией множества точек, лежащих на проецирующей прямой (M, M1, M2, M3).

Прямолинейный отрезок тп может быть проекцией не только пря­молинейного отрезка M1N1 і или M2N2, но проекцией кривой линии M3N3 и любой плоской фигуры, расположенной в проецирующей плоскости.

Следовательно, изображение пространственной фигуры является не полным. Мы можем правильно понять чертеж тогда, когда он будет сопровождаться дополнительными пояснениями.