Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной оси (рис. 1). Эта поверх­ность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая точка образующей I описывает при своем вращении ок­ружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром на оси. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей называется экватором, наименьшая — горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называ­ют меридианальной. Линию ее пересечения с поверхностью — меридиа­ном. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций, назы­вается главным меридианом. Все меридианы равны между собой.

На чертеже ось вращения II располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, например горизонтальной. Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину. Экватор и горло определят горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет главный меридиан, то есть меридиан, располо­женный во фронтальной плоскости.

Точки на поверхностях вращения могут быть построены с помо­щью параллелей, то есть окружностей на поверхности.

Цилиндр вращения

Цилиндром вращения называется поверхность, образованная вра­щением прямой вокруг параллельной ей оси.

Если ось цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальные проекции точек, лежащих на его поверхности, будут расположены на окружности, в которую спроецируется ци­линдр на горизонтальную плоскость Н (рис. 2).

Задача. Найти недостающие проекции точек М и К (рис. 2)

Для того, чтобы найти горизонтальную проек­цию точки М, проведем линию связи от фронталь­ной проекции М(m’) до пересечения с горизонталь­ной проекцией цилиндра (окружностью). Задача имеет два ответа: точки m1 и m2.

Однозначно определить положение фронталь­ной проекции точки К по одной только горизон­тальной проекции k невозможно. По линии связи, проведенной от горизонтальной проекции этой точ­ки, на поверхности цилиндра может находиться бесчисленное множество точек. В этом случае необходима дополнитель­ная информация о положении точки К.

При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получаются две прямые — образующие (рис. 3).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в резуль­тате сечения получится окружность (рис. 4).

В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси враще­ния цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 5).

Сечение цилиндра плоскостью

В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью заключается в нахождении общих точек, то есть точек, принадлежащих одновременно секущей плоскости и поверхности.
Для нахождения этих точек применяют способ дополнительных секущих плоскостей:

1. Проводят дополнительную плоскость.
2. Строят линии пересечения дополнительной плоскости с поверх­ностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью.
3. Определяют точки пересечения полученных линий.

Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения ха­рактерных (опорных) точек. К ним относятся

• верхние и нижние, левая и правая и точки границы видимости;
• точки, характеризующие данную линию пересечения (для эл­липса — точки большой и малой осей).

Для более точного построения линии пересечения необходимо по­строить еще и дополнительные (промежуточные) точки.

Прямой круговой конус

Сечение конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении кону­са вращения могут получиться различные линии.

• Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается две прямые — образующие (треугольник) (рис. 8, а).
• В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 8, б).

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 8, в, г, д) — в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

• Эллипс получается в том случае, когда угол β наклона секущей плоскости меньше угла наклона а образующих конуса к его основанию (О<β < α), т.е. когда плоскость пересекает все образующие данного кону­са (рис. 8, в).
• Если углы α и β равны (то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса), в сечении получается парабола (рис. 8, г).
• Если секущая плоскость направлена под углом, который изменя­ется в пределах 90°≥β>α, то в сечении получается гипербола. В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. Ги­пербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная (рис. 8, д).

Точка на конусе

Для конуса наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности.

Горизонтальную проекцию точки А найдем с помощью образующей. Проведем через точку А и вершину конуса S вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р(Рv). Она пересе­кает конус по двум образующим SM и SN. Их фрон­тальные проекции совпадают. Строим горизон­тальные проекции образующих. Затем проводим через точку а’ линию связи. На пересечении ли­нии связи и горизонтальных проекций образую­щих определим горизонтальную проекцию точки. Задача имеет два ответа: точки а₁ и а₂ (рис. 9).

(•)A ∈ SN                 или            (•)A ∈ SM

Горизонтальную проекцию точки В найдем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскость Т(Тv), которая пересекает конус по ок­ружности радиуса r.

Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точку b’ проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также имеет два ответа — точки b₁ и b₂.

Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения ко­нуса фронтально — проецирующей плоскостью Р (P_V). В этом случае в се­чении получается эллипс (рис. 10).

Сначала определим характерные (опорные) точки.

Фронтальная проек­ция линии сечения совпа­дает с фронтальным следом плоскости P_V. Нижняя точ­ка 1 лежит на образующей AS, верхняя — 2 на обра­зующей ВS. Эти точки оп­ределяют положение боль­шой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси.

Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 на две равные части. Точки 3 и 4 определяют малую ось эллипса. Точки 5 и 6, расположенные на образующих CS и DS, являются точками границы ви­димости для профильной плоскости проекций. Проекции точек 1, 2, 5 и 6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти про­екции точек 3 и 4, проводим дополнительную секущую плоскость Т(Тv).

Она рассекает конус по окружности радиуса г. На этой окружности на­ходятся проекции данных точек. Для точного построения необходимо определить дополнительные (случайные точки). Проекции этих точек находим аналогично точкам 3 и 4 или проводя через эти точки образую­щие. Соединяем полученные проекции точек. Определяем видимость. На горизонтальной плоскости все точки, лежащие на поверхности конуса, видимы. На профильной — точки 5, 3, 1, 4, 6 видимы, остальные — нет.

Шаровая поверхность

Шаровой поверхностью (или сфе­рой) называется поверхность, образован­ная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Если шаровая поверхность пересе­кается плоскостью, то в сечении всегда получается окружность, которая может спроецироваться:

• в прямую, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций;
• в окружность, если секущая плос­кость параллельна плоскости проекций. Например, окружность с радиусом г, равным расстоянию от оси вращения ша­ра до очерка (рис. 11);
• — в эллипс, если секущая плоскость не параллельна плоскости про­екций.

Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную плос­кости проекций, затем построить окружность, на которой находится эта точка.

Сечение шаровой поверхности плоскостью

Пересечем поверхность шара фронтально-проецирующей плоскостью Q(Q_v) (рис. 12). Построение начинаем с определения характерных точек.

(•)1,2 ∈ гл. меридиану

Точки 1 и 2 находятся на главном меридиане. Эти точки — концы малой оси эллипса, а также это самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции строим по фронтальным проекциям.

Точки 3 и 4 находятся на профильном меридиане и оп­ределяют видимость на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции точек находим по профильным проекциям.

(•)5,6 ∈ экватору

Точки 5 и 6 принадлежат экватору и являются точками границы видимости на горизонтальной проекции. Профильные проекции точек находим по горизонтальным проекциям.

Чтобы найти положение большой оси эллипса (точки 7 и 8) разде­лим отрезок 12 пополам. Фронтальные проекции точек (точки 7 и 8) совпадают с серединой этого отрезка. В этой же точке находится фрон­тальная проекция центра окружности сечения. На горизонтальную плос­кость диаметр окружности проецируется без искажения. Поэтому точки 7 и 8 будут находиться на расстоянии R от центра окружности сечения (рис. 12).

Для большей точности строим несколько дополнительных точек.

Полученные точки соединяем плавной кривой линией с учетом ее видимости.

Тор

Тор — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр.

Если ось вращения проходит вне окружности, то поверхность на­зывается «открытый тор» или «тор — кольцо» (рис. 13); если ось касает тор» (рис. 15 — 16). Тор, изображенный на рис. 15, называется также «тор-яблоко», а на рис. 16 — «тор-лимон». Сфера — частный случай торовой поверхности.

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка:

• эллипсоид вращения — поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси (рис. 17). Поверхность, образованная вращением эл­липса вокруг его большой оси, называется вытянутым эллипсоидом вра­щения (рис. 17, б), при вращении вокруг малой оси — сжатым эллипсои­дом вращения (рис. 17, а, в);
• параболоид вращения — поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси (рис. 18);

двухполостный гиперболоид вращения — поверхность, обра­зованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 19).