В общем случае плоский угол проецируется на плоскость с искажением. Однако, если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения.
Например, стороны угла АВС (рис. 12) параллельны горизонтальной плоскости Н, поэтому угол спроецировался на нее без изменений.
Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций.
Теорема о проецировании прямого угла
Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.
Пусть сторона DЕ прямого угла KED параллельна плоскости Р, а сторона ЕК ей не перпендикулярна (рис. 13). Требуется доказать, что его проекция — угол ked — равна 90°
Доказательство
Спроецируем стороны угла KED на плоскость Р. Для этого проведем проецирующие лучи из точек К, Е, D перпендикулярно плоскости. Через прямые ЕК и Ее проведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна плоскости Р, так как она проходит через прямую Ее, перпендикулярную плоскости Р.
(ЕК) ∧ (Ее) ⊂ Q; (Ее) ⊥ Р => Q ⊥ Р
Прямая ED перпендикулярна плоскости Q, так как она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости ЕК и Ее.
(ED) ⊥ (ЕК); (ЕD) ⊥ (Ее) => (ED) ⊥ Q
Прямая ed также перпендикулярна к плоскости Q, так как прямая ED и ее проекция ed параллельны между собой.
(ED) ⊥ Q; (ed) // (ЕD) => (еd) ⊥ Q
Прямая ed перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой ek, то есть угол ked — прямой.
(еd) ⊥ (еk); ∠ked = 90°.
