В общем случае плоский угол проецируется на плоскость с иска­жением. Однако, если обе стороны угла парал­лельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения.

Например, стороны угла АВС (рис. 12) парал­лельны горизонтальной плоскости Н, поэтому угол спроецировался на нее без изменений.

Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

рис. 12

Теорема о проецировании прямого угла

Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Пусть сторона прямого угла KED параллельна плоскости Р, а сторона ЕК ей не перпендикулярна (рис. 13). Требуется доказать, что его проекция — угол ked — равна 90°

рис. 13

Доказательство

Спроецируем стороны угла KED на плоскость Р. Для этого проведем проецирующие лучи из точек К, Е, D перпендику­лярно плоскости. Через прямые ЕК и Ее проведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна плоскости Р, так как она проходит через прямую Ее, перпендикулярную плоскости Р.

(ЕК) ∧ (Ее) ⊂ Q; (Ее) ⊥ Р => Q ⊥ Р

Прямая ED перпендикулярна плоскости Q, так как она перпенди­кулярна к двум прямым этой плоскости ЕК и Ее.

(ED) ⊥ (ЕК); (ЕD) ⊥ (Ее) => (ED) ⊥ Q

Прямая ed также перпендикулярна к плоскости Q, так как прямая ED и ее проекция ed параллельны между собой.

(ED) ⊥ Q; (ed) // (ЕD)  => (еd) ⊥ Q

Прямая ed перпендикулярна лю­бой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой ek, то есть угол ked — прямой.

(еd) ⊥ (еk); ∠ked = 90°.