Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своём плавно переходящих одна в другую.

Плавный переход одной линии в другую называют касанием, а точку, в которой происходит касание, точкой касания или перехода (рис. 49).

Рис. 49

Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рис. 50 такой линией является дуга АВ радиуса Rc. Её называют дугой сопряжения, радиус R c  — радиусом сопряжения, а центр сопрягающей дуги – центром сопряжения.

Рис. 50

При сопряжении всегда имеются две точки перехода и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.

Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.

Построение касательной к окружности в заданной на ней точке.

Рис. 51

Через точку А и центр О (рис. 51) проводят прямую и в точке А восстанавливают к ней перпендикуляр (построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке рассмотрено на рис. 32).

рис. 32

Построение касательной к окружности из точки А вне окружности.

Рис. 52

Центр окружности О и точку А соединяют прямой (рис. 52). Отрезок OA принимают за диаметр вспомогательной окружности. Разделив отрезок OA пополам, получают точку О1 .

Из  точки  О1   описывают  окружность  радиусом  O1 A,  которая  пересекает  заданную  окружность в точках касания В и С.

Построение касательных окружностей.

При внешнем касании окружностей центры О1  и О2  расположены на расстоянии R+r друг от друга. Точка касания лежит на прямой, соединяющей центры О1  и О2 , а общая касательная MN к этой прямой в точке А перпендикулярна (рис. 53а).

При внутреннем касании расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R-r. Точка касания А расположена на продолжении прямой, соединяющей центры О1  и О2  (рис. 53б).

Рис. 53

Построение общей внешней касательной к двум окружностям.

Из  центра  O 1   большей  окружности  описывают  окружность  радиусом  R-r  (рис.  54а).

Находят середину отрезка O1 O2   – точку О3  и из неё проводят окружность радиусом O1 O3 .

Обе проведенные окружности пересекаются в точках А и В. Точки O1  и В соединяют прямой и в пересечении её с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 54б). Из точки О 2  параллельно прямой O1 D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса г и получают вторую точку касания С.

Рис. 54

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям.

Из центра любой окружности описывают окружность радиусом R+r (рис. 55а). Разделив отрезок O1 O2  пополам, получают точку O3. Из точки O3  описывают окружность радиусом  O1O3  и  отмечают  точки  А  и  В  пересечения  вспомогательных  окружностей.  Соединив точки O1  и А прямой (рис. 55б), получают точку касания D. Через точку O2, проводят прямую, параллельную O1A, и получают вторую точку касания С.

Рис. 55

Сопряжение   двух   пересекающихся   прямых   дугой   заданного   радиуса.

Проводят две прямые, параллельные заданным и  удалённые от них на величину радиуса Rc (рис. 56а). В пересечении отмечают точку О – центр сопряжения. Из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки касания А и В дуги сопряжения. Такое построение справедливо для любого угла между заданными прямыми.

Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться способом, указанным на рис. 56б.

Рис. 56

Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса.

Может быть два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной (рис. 57а) и внутреннее (рис. 57б). При внешнем касании из центра О1  проводят дугу радиусом R+R c  и прямую, параллельную заданной, на расстоянии R c  от неё. На пересечении получают точку О центра сопряжения. На прямой ОО1  отмечают точку касания А. Точку В касания получают, опустив перпендикуляр из центра О на заданную прямую.

Рис. 57

При внутреннем касании построения аналогичны, только радиус вспомогательной дуги равен Rс-R.

Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса.

Различают три вида такого сопряжения: внешнее, внутреннее и смешанное.

При внешнем сопряжении (рис. 58а) центр сопряжения О располагается на пересечении дуг радиусов R+R c  и r+R c , проведенных из центров О1  и О2. Точки касания А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО1 и ОО2.

При  внутреннем  сопряжении  (рис.  58б)  проводят  вспомогательные  дуги  радиусами R c -R и R c -r из центров О1  и О2. Через точки ОО1 и ОО2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и находят точки касания А и В.

При смешанном сопряжении (рис. 58в) построения аналогичны и ясны из чертежа.

Рис. 58