Существуют четыре варианта пересечения поверхностей.

Проницание

Все образующие первой поверхно­сти пересекаются со второй по­верхностью, но не все образующие второй поверхности пересекаются с первой. В этом случае линия пе­ресечения поверхностей распада­ется на две замкнутые кривые ли­нии (рис. 10).

рис. 10

Врезание

Не все образующие той и другой поверхности пересекаются между собой. В этом случае линия пере­сечения — одна замкнутая кривая линия (рис. 11).

рис. 11

Касание

Все образующие одной поверхно­сти пересекаются со второй, но не все образующие второй поверхно­сти пересекаются с первой. По­верхности имеют в одной точке (точка К на рис. 12) общую плос­кость касания. Линия пересечения распадается на две замкнутые кри­вые линии, пересекающиеся в точ­ке касания.

рис. 12

Двойное касание

Все образующие обеих поверхно­стей пересекаются между собой. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кри­вые, которые пересекаются в точ­ках касания (рис. 13).

рис. 13

Теорема Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей по­верхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой — либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые.

На рис. 14-15 два цилиндра описаны вокруг сферы, а на рис. 16 два сжатых эллипсоида вращения вписаны в сферу. Во всех этих случаях поверхности пересекаются по эллипсам.

рис. 14-16

Теорема о двойном касании

Если две поверхности второго порядка имеют две общие точки (точки касания), то линия их взаимного пере­сечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причем плос­кости этих кривых пройдут через пря­мую, соединяющую точки касания.

На рис. 17 два цилиндра (ци­линдр вращения и эллиптический ци­линдр) пересекаются по двум плоским кривым (окружности и эллипсу).

рис. 17