Взаимное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Если это положение нарушается, то точка данной прямой не принадлежит.

Рассмотрим это положение на чертеже (рис. 1).

Точка F принадлежит прямой АВ, так как горизонтальная проекция / точки принадлежит горизонтальной проекции аЬ прямой, а фронтальная проекция /’ точки принадлежит фронтальной проекции а’Ь’ прямой:

(•) F е (АВ) => (Те аЬ) л ^ е а’Ь’).

Точка С лежит над прямой АВ, точка D лежит под прямой АВ, точка Е лежит за прямой АВ:

(•) С £ (АВ) => (с е аЬ) л Сс’ £ а’Ь‘);

(•) D Ж (АВ) (4 е аЬ) л (4′ £ а’Ь‘);

(•) Е £ (АВ) => (е * аЬ) л (е’ е а’ Ь‘).

Следы прямой

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. На рис. 2, а точка M горизонтальный след прямой, точка N фронтальный.

Горизонтальная проекция т горизонтального следа прямой совпадает с самим следом — точкой М (рис. 2, а), а фронтальная проекция этого следа т’ лежит на оси х. Фронтальная проекция п’ фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом — точкой N, а горизонтальная проекция п лежит на той же оси проекций.

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки т и т’), надо продолжить фронтальную проекцию аЬ’ прямой до пересечения с осью х (точка т’). Затем через нее провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции аЬ. Точка т — горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек п и п’) необходимо продолжить горизонтальную проекцию аЬ прямой до пересечения с осью х (точка п). Затем через нее провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции а’Ь’. Точка п’ — фронтальная проекция фронтального следа (рис. 2, б).

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях 2 и у.

Способ перемены плоскостей проекций

Для упрощения решения ряда графических задач желательно, чтобы геометрическая фигура (прямая, плоскость) занимала частное положение. Этого можно добиться разными способами, например, способом перемены плоскостей проекций.

Способ перемены плоскостей проекций состоит в том, что одну из плоскостей заменяют новой, которую располагают более рационально по отношению к заданному геометрическому объекту. При этом должны быть выдержаны следующие условия:

новая плоскость располагается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций;
геометрическая фигура не меняет своего положения в пространстве;
на новую плоскость проекций фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.

Например, заменим фронтальную плоскость V на новую V1, которую расположим перпендикулярно плоскости Н и спроецируем на нее точку А. Ось х і — новая ось проекций (рис. 3).

При замене фронтальной плоскости проекций постоянной остается 2-координата точки, так как расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н не изменилось. Следовательно, для построения новой проекции точки А точки а₁‘(рис. 4) необходимо: