Линия пересечения двух поверхностей — это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.
Общим способом построения точек, принадлежащих кривой взаимного пересечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей (плоскостей) посредников.
Принцип решения задачи
Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности Φ и Ω (рис. 5). Введем плоскость — посредник О, которая пересечет поверхности по линиям М и N. Взаимное пересечение этих линий даст точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения. Проводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

Точки К1 и К2 находятся в точках пересечения очерков поверхностей и являются самой высокой и самой низкой точками линии пересечения.
Способы построения линий пересечения поверхностей:
В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости частного положения и шаровые поверхности — сферы.
В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:
- способ вспомогательных секущих плоскостей;
- способ вспомогательных сфер.
При построении линии взаимного пересечения поверхностей необходимо сначала определить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Для построения линии пересечения заданных поверхностей конуса и шара (рис. 6) в качестве вспомогательных плоскостей необходимо использовать фронтальную плоскость Р и ряд горизонтальных плоскостей (S, Т, R).
Построение начинаем с определения проекций характерных точек (рис. 7). Проводим фронтальную плоскость Р (PH). Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек (1′ и 2′) находим как точки пересечения очерков.

(•) 1′, 2′ = треугольник ∩ окружность — самая высокая и самая низкая точки линии пересечения.
Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи до пересечения с Рн.
Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям.
Точки 3 и 4, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскости Т(Тv). Она проходит через центр сферы. Плоскость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса г. В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизонтальные проекции 3 и 4.
Т (Тv) // Н; T∩Ф = окр. mах радиуса (экватор);
T∩ψ= окр. радиуса г;
(•) 3, 4 = экв. сферы ∩ окр. радиуса г
Фронтальные проекции точек 3 и 4 находим, проведя линии связи до пересечения с Тv.
Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции.
Промежуточные точки (точки 5, 6, 7, 8) находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей S(SV) и R(Rv).
Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом видимости.
Пересечение соосных поверхностей
Соосными поверхностями вращения — называются поверхности, у которых совпадают оси вращения.
Линии пересечения соосных поверхностей — окружности, плоскости которых перпендикулярны оси поверхностей вращения. При этом если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линии пересечения на эту плоскость проецируются в отрезки прямых линий (рис. 8).
Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер
Способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:
- пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
- оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
- плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.
Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции.
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух цилиндров (рис. 9).

Построим фронтальную проекцию линии пересечения.
Проводим фронтальную плоскость Q(QH), которая является плоскостью симметрии поверхностей. Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Точки 1, 2, 3, 4 определяем как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащих плоскости Q.
Остальные точки находим способом вспомогательных концентрических сфер.
За центр сфер выбираем точку пересечения осей (точку О) и проводим сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна вертикальному и наклонному цилиндрам и пересечет их по окружностям. Плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения цилиндров. Фронтальные проекции окружностей — отрезки прямых аЬ и с’сі’ на вертикальном цилиндре, 4/’ и И И’ на наклонном цилиндре. Точки их пересечения (точки 5, 6, 7, 8) принадлежат обоим цилиндрам, следовательно, являются точками линии пересечения.
Проведя несколько сфер разного радиуса можно построить достаточное количество точек линии пересечения поверхностей. Размеры вспомогательных сфер выбираются в определенных пределах. Минимальная сфера должна касаться большей поверхности и пересекать меньшую. То есть минимальная сфера вписывается в большую поверхность. С помощью такой сферы найдены точки 9, 10, 11, 12. Это самые глубокие точки линии пересечения.
Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от центра О до само удаленной точки пересечения контурных образующих (точки 1 и 4).
Радиус промежуточных сфер находится в пределах Rmax>Rnp0M>Rmin.
Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикального цилиндра (рис. 9).