Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей — это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.

Общим способом построения точек, принадлежащих кривой вза­имного пересечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей (плоскостей) посредников.

Принцип решения задачи

Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности Φ и Ω (рис. 5). Введем плоскость — посредник О, которая пересечет поверх­ности по линиям М и N. Взаимное пересечение этих линий даст точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения. Проводя ряд посредников, по­лучаем семейство точек линии пересечения.

Точки К₁ и К₂ находятся в точках пересечения очерков по­верхностей и являются самой высокой и самой низкой точками линии пересечения.

Способы построения ли­ний пересечения поверхностей:

В качестве посредников наиболее часто применяют плос­кости частного положения и шаровые поверхности — сферы.

В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

• способ вспомогательных секущих плоскостей;
• способ вспомогательных сфер.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей необ­ходимо сначала определить опорные точки кривой. Эти точки дают пре­делы линии пересечения. Между ними и следует определять промежу­точные (случайные) точки.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения заданных поверхностей конуса и шара (рис. 6) в качестве вспомогательных плоскостей необходимо ис­пользовать фронтальную плоскость Р и ряд горизонтальных плоскостей (S, Т, R).

Построение начинаем с определения проекций характерных точек (рис. 7). Проводим фронтальную плоскость Р (P_H). Эта плоскость пересе­кает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек (1′ и 2′) находим как точки пересечения очерков.

(•) 1′, 2′ = треугольник ∩ окружность — самая высокая и самая низкая точки линии пересечения.

Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи до пересечения с Р_н.

Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям.

Точки 3 и 4, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью го­ризонтальной плоскости Т(Тv). Она проходит через центр сферы. Плос­кость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса г. В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизон­тальные проекции 3 и 4.

Т (Т_v) // Н;             T∩Ф = окр. mах радиуса (экватор);

          T∩ψ= окр. радиуса г;

                                 (•) 3, 4 = экв. сферы ∩ окр. радиуса г

Фронтальные проекции точек 3 и 4 находим, проведя линии связи до пересечения с Т_v.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции.

Промежуточные точки (точки 5, 6, 7, 8) находим с помощью вспо­могательных горизонтальных плоскостей S(S_V) и R(R_v).

Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом ви­димости.

Пересечение соосных поверхностей

Соосными поверхностями вращения — называются поверхности, у которых совпадают оси вращения.

Линии пересечения соосных поверхностей — окружности, плоско­сти которых перпендикулярны оси поверхностей вращения. При этом ес­ли ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то ли­нии пересечения на эту плоскость проецируются в отрезки прямых ли­ний (рис. 8).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересе­чения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер

Способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

• пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями враще­ния;
• оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
• плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость сим­метрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения по­верхностей на одной проекции.

Рассмотрим пример построения линии пересечения двух цилинд­ров (рис. 9).

Построим фронтальную проекцию линии пересечения.

Проводим фронтальную плоскость Q(Q_H), которая является плос­костью симметрии поверхностей. Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Точки 1, 2, 3, 4 определяем как точки пересечения контур­ных образующих поверхностей, принадлежащих плоскости Q.

Остальные точки находим способом вспомогательных концентри­ческих сфер.

За центр сфер выбираем точку пересечения осей (точку О) и про­водим сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно со­осна вертикальному и наклонному цилиндрам и пересечет их по окруж­ностям. Плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения ци­линдров. Фронтальные проекции окружностей — отрезки прямых аЬ и с’сі’ на вертикальном цилиндре, 4/’ и И И’ на наклонном цилиндре. Точки их пересечения (точки 5, 6, 7, 8) принадлежат обоим цилиндрам, сле­довательно, являются точками линии пересечения.

Проведя несколько сфер разного радиуса можно построить доста­точное количество точек линии пересечения поверхностей. Размеры вспомогательных сфер выбираются в определенных пределах. Мини­мальная сфера должна касаться большей поверхности и пересекать меньшую. То есть минимальная сфера вписывается в большую поверх­ность. С помощью такой сферы найдены точки 9, 10, 11, 12. Это самые глубокие точки линии пересечения.

Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от центра О до само удаленной точки пересечения контурных образующих (точки 1 и 4).

Радиус промежуточных сфер находится в пределах R_max>R_np0M>Rmin.

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизон­тальной проекцией вертикального цилиндра (рис. 9).