Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям

Научимся изображать сечения цилиндра и конуса, параллельные их основаниям, .

Изобразите на листе вертикальные и одинаковой высоты. Выполните сечения этих тел тремя горизонтальными плоскостями.

Рассмотрите на рис. 3.98. В центре листа нарисуйте цилиндр и конус, расположенные ниже линии горизонта на воображаемой горизонтальной плоскости так, чтобы большие оси эллипсов их оснований лежали на одной горизонтальной прямой. Основания цилиндра и конуса – одинаковые по размеру и раскрытию эллипсы. Разницу в раскрытии верхнего и нижнего оснований цилиндра сделайте достаточно заметной. Теперь представьте три горизонтальные плоскости, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, которые рассекают геометрические тела и делят их вертикальные оси на равные отрезки. Сечения цилиндра и конуса плоскостями, параллельными их основаниям – окружности, в перспективном рисунке – эллипсы. Изобразите оси эллипсов сечений цилиндра и конуса – горизонтальные линии, общие для обоих геометрических тел (рис. 3.99).

В цилиндре секущие эллипсы и эллипсы оснований подчинены единой системе: все пять эллипсов объединены двумя вертикальными образующими, их большие оси равны, а раскрытие равномерно уменьшается от нижнего эллипса к верхнему. В конусе эллипсы уменьшаются не только по раскрытию, но и по длине больших осей от эллипса основания к вершине.

Сначала нарисуйте сечения цилиндра. Это лучше сделать в определенной последовательности. Сначала изобразите , который делит цилиндр пополам. Длина большой оси секущего эллипса определена крайними образующими цилиндра. Длина его малой оси равна среднему арифметическому между длинами малых осей эллипсов верхнего и нижнего оснований. Таким же способом разделите каждую половину цилиндра.

Теперь нарисуйте сечения конуса. Как вы помните, большие оси эллипсов в сечении конуса лежат на продолжении больших осей эллипсов в сечении цилиндра. Начните с рисунка нижнего секущего эллипса. Его раскрытие меньше, чем раскрытие эллипса основания конуса. Найдите раскрытие эллипса основания, для этого графически определите, сколько раз его малая ось укладывается в большой оси. Разметьте на осях секущего эллипса эллипс того же раскрытия, что и эллипс основания. А затем, несколько уменьшив малую ось, изобразите секущий эллипс. Проверьте правильность эллипса сечения конуса, сравнив его раскрытие с раскрытием соответствующего эллипса сечения цилиндра. Раскрытия секущих эллипсов, расположенных на одном уровне, должны быть равны. Изобразите остальные эллипсы в сечении конуса, также сверяя их с эллипсами цилиндра (рис. 3.100). Обратите внимание еще на одну особенность в изображении сечений конуса. В отличие от эллипсов цилиндра, крайние точки больших осей эллипсов сечения конуса не лежат на его образующих, что хорошо видно на примере конуса на рис. 3.101. Образующие конуса проходят по касательной к эллипсам сечения, также как и к эллипсу основания конуса.

Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям
Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям

Завершая , проверьте правильность раскрытия эллипсов – постройте вертикальные сечения конуса и цилиндра плоскостями, проходящими через центры окружностей их оснований (рис. 3.101). Линии пересечения горизонтальных и вертикальной секущих плоскостей должны быть параллельны, а значит, сходиться в точке на линии горизонта.

Вертикальные сечения можно использовать не только для проверки, но и для определения раскрытия секущих эллипсов тел вращения. Например, если известны раскрытия верхнего и нижнего оснований вертикального цилиндра, нарисовать любое горизонтальное сечение можно следующим образом. Задайте место большой оси эллипса горизонтального сечения цилиндра (рис. 3.103). Затем постройте любое вертикальное сечение, определив направление параллельных линий, принадлежащих основаниям (рис. 3.104). Проведите еще одну параллельную прямую через центр окружности горизонтального сечения (рис. 3.105). Точки пересечения этой прямой с вертикальным сечением цилиндра определят раскрытие секущего эллипса (рис. 3.106).