Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию
Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию

Чтобы научиться строить сечение конуса плоскостями, перпендикулярными его основанию, нарисуйте вертикальный и сделайте четыре сечения конуса параллельными вертикальными плоскостями, расположенными на равном расстоянии друг от друга.

Рассмотрите ортогональных проекций конуса, рассеченного параллельными вертикальными плоскостями, на рис. 3.107. Сечение конуса вертикальной плоскостью, проходящей через его вершину, – треугольник, такое сечение вы уже строили в предыдущем задании. Сечения, перпендикулярные плоскости основания, но не проходящие через вершину конуса – разные по высоте гиперболы. Чтобы построить одну такую гиперболу (рис. 3.108), сначала задайте положение секущей плоскости на перспективном рисунке конуса: проведите линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания – прямую 1 – 2 (рис. 3.109). Точки 1 и 2 – характерные точки сечения, определяющие направление ветвей гиперболы.

Затем найдите верхнюю точку гиперболы (точку 3), лежащую на пересечении вертикали 6 – 3 и образующей 7 – 3. Для определения положения точек б и 7 постройте перпендикуляр к прямой 1 – 2 через центр окружности – прямую а, пересечение которой с прямой 1 – 2 и эллипсом основания даст нам искомые точки 6 и 7.

Направление прямой а определите при помощи касательных. Для этого проведите через центр окружности прямую, параллельную прямой 1 – 2, и обозначьте точки ее пересечения с эллипсом как 4 и 5. Прямые бис, касающиеся эллипса в точках 4 и 5, перпендикулярны диаметру 4 – 5, а значит и прямой 1 – 2 (рис. 3.110). Теперь проведите через центр окружности прямую а, параллельную прямым бис (уходящую с ними в одну точку схода) – это и есть искомый перпендикуляр к прямой 1 – 2. Обозначьте точки 6 и 7 (рис. 3.111).

Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию
Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию
Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию
Сечение конуса параллельными плоскостями, перпендикулярными его основанию

Восстановите перпендикуляр из точки 6 и проведите образующую из точки 7 в вершину конуса – на пересечении этих прямых найдем точку 3 – верхнюю точку гиперболы (рис. 3.112). Таким образом, мы получили три точки (1, 2 и 3), определяющие положение линии сечения. Теперь проведем три вспомогательные прямые, которые позволят нам точнее изобразить гиперболу. Горизонтальная прямая, параллельная 1 – 2 и проходящая через точку 3, касается в этой точке гиперболы и определяет ее очертание в верхней части. Две прямые, проведенные через точки Г и 2′, параллельные образующим конуса из точек 4 и 5, определяют характер ветвей гиперболы. Ветви гиперболы должны постепенно приближаться к этим прямым, но не пересекать их (рис. 3. 113). Изобразите гиперболу. Проверьте симметричность полученной кривой относительно вертикальной оси 3 – 6 (рис. 3.114). Обратите внимание, что прямая 1 – 2 делит основания конуса в той же пропорции, что точка верха гиперболы делит образующую конуса (в нашем примере – на равные части – 1:1). Достройте остальные сечения, проследите за изменением характера гипербол при движении секущей плоскости от края к вершине конуса: ближнее к краю сечение подобно верхней части сечения, расположенного ближе к вершине (рис. 3.115).