Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своём плавно переходящих одна в другую.
Плавный переход одной линии в другую называют касанием, а точку, в которой происходит касание, точкой касания или перехода (рис. 49).
Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.
Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рис. 50 такой линией является дуга АВ радиуса Rc. Её называют дугой сопряжения, радиус R c — радиусом сопряжения, а центр сопрягающей дуги – центром сопряжения.
При сопряжении всегда имеются две точки перехода и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.
Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.
Построение касательной к окружности в заданной на ней точке.
Через точку А и центр О (рис. 51) проводят прямую и в точке А восстанавливают к ней перпендикуляр (построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке рассмотрено на рис. 32).
Построение касательной к окружности из точки А вне окружности.
Центр окружности О и точку А соединяют прямой (рис. 52). Отрезок OA принимают за диаметр вспомогательной окружности. Разделив отрезок OA пополам, получают точку О1 .
Из точки О1 описывают окружность радиусом O1 A, которая пересекает заданную окружность в точках касания В и С.
Построение касательных окружностей.
При внешнем касании окружностей центры О1 и О2 расположены на расстоянии R+r друг от друга. Точка касания лежит на прямой, соединяющей центры О1 и О2 , а общая касательная MN к этой прямой в точке А перпендикулярна (рис. 53а).
При внутреннем касании расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R-r. Точка касания А расположена на продолжении прямой, соединяющей центры О1 и О2 (рис. 53б).
Построение общей внешней касательной к двум окружностям.
Из центра O 1 большей окружности описывают окружность радиусом R-r (рис. 54а).
Находят середину отрезка O1 O2 – точку О3 и из неё проводят окружность радиусом O1 O3 .
Обе проведенные окружности пересекаются в точках А и В. Точки O1 и В соединяют прямой и в пересечении её с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 54б). Из точки О 2 параллельно прямой O1 D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса г и получают вторую точку касания С.
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям.
Из центра любой окружности описывают окружность радиусом R+r (рис. 55а). Разделив отрезок O1 O2 пополам, получают точку O3. Из точки O3 описывают окружность радиусом O1O3 и отмечают точки А и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив точки O1 и А прямой (рис. 55б), получают точку касания D. Через точку O2, проводят прямую, параллельную O1A, и получают вторую точку касания С.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса.
Проводят две прямые, параллельные заданным и удалённые от них на величину радиуса Rc (рис. 56а). В пересечении отмечают точку О – центр сопряжения. Из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки касания А и В дуги сопряжения. Такое построение справедливо для любого угла между заданными прямыми.
Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться способом, указанным на рис. 56б.
Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса.
Может быть два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной (рис. 57а) и внутреннее (рис. 57б). При внешнем касании из центра О1 проводят дугу радиусом R+R c и прямую, параллельную заданной, на расстоянии R c от неё. На пересечении получают точку О центра сопряжения. На прямой ОО1 отмечают точку касания А. Точку В касания получают, опустив перпендикуляр из центра О на заданную прямую.
При внутреннем касании построения аналогичны, только радиус вспомогательной дуги равен Rс-R.
Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса.
Различают три вида такого сопряжения: внешнее, внутреннее и смешанное.
При внешнем сопряжении (рис. 58а) центр сопряжения О располагается на пересечении дуг радиусов R+R c и r+R c , проведенных из центров О1 и О2. Точки касания А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО1 и ОО2.
При внутреннем сопряжении (рис. 58б) проводят вспомогательные дуги радиусами R c -R и R c -r из центров О1 и О2. Через точки ОО1 и ОО2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и находят точки касания А и В.
При смешанном сопряжении (рис. 58в) построения аналогичны и ясны из чертежа.
