Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количест­вом общих точек:

• если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она при­надлежит этой плоскости;
• если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость;
• если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в беско­нечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Называются позицион­ными задачами.

Прямая параллельна плоскости, ес­ли она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы по­строить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую (рис. 1).

(АВ )//(СD)⊂Q=> (AВ)// Q

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

(АВ )⊂Р//Q =>(АВ)//Q

Прямая пересекает плоскость

Построить точку пересечения прямой с плоскостью — значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, рис. 2), то го­ризонтальная проекция точки пересечения должна одновременно при­надлежать горизонтальному следу плоскости и горизонтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения.

Поэтому сначала определя­ется горизонтальная проекция k точки K (точки пересечения прямой АВ с горизонтально-проецирующей плоскостью Q (Δ CDE)), а затем ее фрон­тальная проекция.

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

На рис. 3 изображена плоскость общего положения Р (ΔCDE) и горизонтально-проецирующая прямая АВ, пересекающая плоскость в точке К. Горизонтальная проекция точки — точка k — совпадает с точками а и Ь. Для построения фронтальной проекции точки пересечения проведем че­рез точку К в плоскости Р прямую (например, 1-2).

Сначала построим ее горизонтальную проекцию, а затем фронтальную. Точка К является точ­кой пересечения прямых АВ и 1—2, то есть точка К одновременно лежит на прямой АВ и в плоскости Р и, следовательно, является точкой их пе­ресечения.

3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомога­тельной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной плоскостью Q (линия МN) (рис. 4).

Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану.

1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р.

( АВ )⊂ Р

2. Строят линию пересечения МN заданной плоскости Q и вспомогатель­ной плоскости Р.

(МN) = Q∩P

3. Так как прямые АВ и МN лежат в одной плоскости Р, то опреде­ляют точку их пересечения (точку К), которая является точкой пересече­ния прямой АВ с плоскостью Q.

(•)К = (АВ) )∩(МN)

4. Определяют взаимную видимость прямой АВ и плоскости Q.

Задача: Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника СDE (рис. 5). Точки задаются координатами:

А(9,1,2), В(2,7,6), С(11,7,4), D(2,4,2), Е(5,0,7)

Задачу решаем по выше рассмотренному плану.

• Через прямую АВ проводим вспомогательную фронтально — проецирующую плоскость Р.

(АВ) ⊂ Р ⊥ V

• Строим линию пересечения МЫ заданной плоскости Q (ΔCDE) и вспомогательной плоскости Р.

• Так как прямые АВ и МN лежат в одной плоскости Р, то определяем точку их пересечения (точку К), которая явля­ется точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Q.

(•)К = (2) ∩ AB

• Определяем взаимную видимость прямой АВ и плоскости Q.

Для определения видимых участков прямой АВ анализируем положение точек на скрещивающихся прямых (конкури­рующих точек).