Способы задания поверхности

Существуют различные способы задания поверхности.

1. Аналитический способ

Поверхность в этом случае описана математическим выражением и представляется как геометрическое место точек или линий, удовлетво­ряющих уравнению F(x, у, z) = 0.

Например, поверхность шара задана уравнением: х²+у²+z²=г².

2. Задание поверхности каркасом.

Этот способ используется при задании сложных поверхностей. По­верхность задается семейством линий, принадлежащих поверхности (каркасом). Каркасы могут быть сетчатые, линейчатые, точечные.

При задании поверхности каркасом необходимо иметь ряд ее па­раллельных сечений, которые можно рассматривать как положения обра­зующей переменного вида. Такой способ применяется при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении и судостроении.

Способ задания поверхности каркасом с помощью линий пересе­чения поверхности плоскостями уровня применяется в топографии, гор­ном и дорожном деле. Проекции линии уровня на плоскость проекций с соответствующими отметками представляют собой карту рельефа мест­ности. Поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топо­графической (рис. 1).

2. Кинематический способ

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных по­ложений движущейся линии. Та­кой способ образования поверх­ности называется кинематиче­ским.

Линия (кривая или прямая) движется в пространстве и созда­ет поверхность. Она называется образующей. Как правило, образующая движется по второй линии. Эта линия называется направляющей (рис. 2).

Классификация поверхностей

Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направ­ляющих:

1. Поверхности закономерные и незакономерные.
2. Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и не­линейчатые (криволинейные) поверхности.
3. Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертываю- щиеся.

Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плос­костью без наличия разрывов и складок.

Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не мо­гут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

4. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы.
5. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

Задание поверхности на чертеже

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют постро­ить каждую ее точку. Совокупность этих элементов называется определи­телем поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

• геометрической части,

включающей постоянные геометри­ческие элементы (точки, линии), ко­торые участвуют в образовании по­верхности;

• алгоритмической! части,

задающей закон движения зующей, характер изменения ее формы.

Когда какая-нибудь поверх­ность С! проецируется с помощью параллельных лучей на плоскость проекций Р, то проецирующие пря­мые, касающиеся поверхности О, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3).

Эти проецирующиеся прямые касаются поверхности Ω в точках, образующих некоторую ли­нию т, которая называется контурной линией.

Проекция контурной линии m на плоскость Р, m_р, называется очер­ком поверхности.

Чтобы сделать чертеж более наглядным строят очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки.

Линейчатые поверхности

Гранные поверхности

Гранной поверхностью называется поверхность, образованная пе­ремещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 4, а) и призматические (рис. 4, б).

Пирамидальной называется поверхность, образованная перемеще­нием прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Опре­делитель поверхности — ломаная направляющая т и точка S.

Призматической называется поверхность, образованная переме­щением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному на­правлению I. Определитель поверхности — ломаная направляющая т и направление I.

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии, принадлежащей поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, принадлежащие поверхности.

Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проек­ции принадлежат одноименным проекциям линии этой поверхности.

Точки М и N принадлежат соответственно пирамидальной и приз­матической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположен­ным на этих поверхностях.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими много­угольниками. Рассмотрим два многогранника — пирамиду и призму.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань — основание (произвольный многоугольник). Остальные грани (бо­ковые) — треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пи­рамиды.

Для задания на чертеже пирамиды достаточно задать ее основание и вершину. Чтобы построить проекции точки на поверхности пирамиды, нужно через эту точку провести вспомогательную прямую, принадлежа­щую поверхности пирамиды (рис. 5).

Призмой называется многогранник, у которого основания — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы — параллелограммы. Если ребра боковых граней перпен­дикулярны основанию, то призму называют прямой (рис. 6), если нет — наклонной (рис. 7).

Для задания призмы достаточно задать одно ее осно­вание и боковое ребро. Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани призмы, нужно через эту точку провести прямую.