Взаимное положение двух плоскостей

Параллельные плоскости.

Плоскости будут параллельными:

• если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно па­раллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6);
• если плоскости параллельны, то параллельны их одноименные следы (рис. 7).

Плоскости пересекаются

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо

• или найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;
• или найти одну точку, принадлежащей двум плоскостям, и на­правление линии пересечения.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Плоскости в пространстве могут занимать различное положение. рассмотрим три случая построения линии их пересечения.

1. Линия пересечения двух проецирующих плоскостей

Если плоскости занимают частное положе­ние, например, как на рис. 8, являются горизон- тально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронталь­ная проекция линии пересечения перпендику­лярна оси проекций.

2. Линия пересечения плоскости общего положения и проецирую­щей плоскости

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с про­екцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна.

На рис. 9 по­казано построение проекций линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, заданной следами, c плоскостью общего по­ложения (треугольник ABC).

На горизонтальной проекции (рис. 9) в пересечении следа плоско­сти P_Н и сторон АС и ВС треуголь­ника АВС находим горизонтальные проекции n и m линии пересечения. По линиям связи находим фрон­тальные проекции точек M и N ли­нии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость V по горизонтальной про­екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения МN (mn) находится перед плоскостью Р, то есть будет видимой на фронтальной плоскости проекций. Остальная часть — за плоскостью Р, то есть неви­дима.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положе­ния осуществляется с помощью дополнительных плоскостей- посредников.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей за­ключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посред­ник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными. В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построе­ние с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

Соединяем полу­ченные точки М и N и определяем взаимную видимость фигур.

Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, задан­ных треугольниками с координатами вершин:

ΔABC — A(16,2,0), B(10,9,7), C(1,4,3)

ΔDEF — D (5,9,0), E (16,1,5), F (9,1,9)

На рис. 11 дано построение линии пересечения двух треугольни­ков. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости — плос­кость P через сторону ED и плоскость Q через сторону DF треугольника DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2.

В пересе­чении фронтальных проекций 1′-2′ и d’e‘ находим фронтальную проек­цию точки M(m’) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треуголь­ник ABC по прямой 3-4. В пересечении фронтальных проекций 3′-4′ и b‘c‘ находим фронтальную проекцию точки N(п’) линии пересечения. Го­ризонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересече­ния, находим, проводя линии связи.

Соединяем точки M и N. Взаимную видимость треугольников на плоскостях проекций определяем с помощью конкурирующих точек.